De stelling van de 45°-45°-90°-driehoek (een gelijkbenige rechthoekige driehoek) houdt in dat de zijden zich verhouden als 1 ∶ 1 ∶ 2 1 ∶ 1 ∶ 2 √ . Dit betekent dat als de twee rechthoekszijden (de benen) een lengte 𝑥 𝑥 hebben, de schuine zijde (hypotenusa) altijd 𝑥 2 𝑥 2 √ is. Khan Academy +1
En die luidt: Bij elke rechthoekige driehoek geldt dat de som van de oppervlakte van de twee kleine vierkanten precies gelijk is aan de oppervlakte van de grote. Omdat je nu met willekeurige afmetingen hebt gewerkt, kun je dit als bewijs van de stelling opvatten.
Dat betekent dat voor elke 45-45-90-driehoek de lengte van de hypotenuse gelijk is aan de lengte van de rechthoekszijde vermenigvuldigd met de wortel van 2. Dat is de stelling van de 45-45-90-driehoek.
Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één van de hoeken 90° is.
45°–45°–90° driehoek
en de grootste verhouding van de hoogte vanaf de hypotenuse tot de som van de rechthoekszijden, namelijk √2/4 . Driehoeken met deze hoeken zijn de enige mogelijke rechthoekige driehoeken die tevens gelijkbenige driehoeken zijn in de Euclidische meetkunde.
Een 45°45°90°-driehoek heeft hoeken van 45°, 45° en 90°, met zijden in de verhouding 1:1:√2 . Een 30°60°90°-driehoek heeft hoeken van 30°, 60° en 90°, met zijden in de verhouding 1:√3:2. Een 45°45°90°-driehoek is een speciaal type gelijkbenige rechthoekige driehoek.
Een van de twee bijzondere rechthoekige driehoeken wordt een 30-60-90-driehoek genoemd, naar de drie hoeken. Stelling van de 30-60-90- driehoek: Als een driehoek hoeken heeft van 30°, 60° en 90°, dan verhouden de zijden zich als x : x³ : 2x . De kortere zijde is altijd x, de langere zijde is altijd x³ en de hypotenuse is altijd 2x.
Dit zie je bij gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken. We weten dat de langste zijde tegenover de grootste hoek moet liggen, en een driehoek heeft een rechte hoek. De andere hoeken mogen niet groter zijn dan 90 graden, omdat de som van de hoeken 180 graden moet zijn. De andere twee hoeken moeten samen 90 graden zijn, dus elk van hen moet kleiner zijn dan 90 graden.
Als je in plaats van schuine zijde liever met langste zijde werkt, krijg je als ezelsbruggetje SOL, CAL, TOA. De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken.
Rechte hoek aantonen
Als je alle zijden van de driehoek weet, maar je weet niet of een hoek 90 graden is, dan kan je dat controleren door te kijken of de stelling van Pythagoras geldt. Als het klopt dat a² + b² = c², dan heb je aangetoond dat de hoek inderdaad 90 graden is.
Een 45-45-90-driehoek is een speciaal type rechthoekige driehoek, waarbij de verhouding van de lengtes van de zijden altijd 1:1:√2 is. Dit betekent dat als de ene rechthoekszijde x eenheden lang is, de andere rechthoekszijde ook x eenheden lang is en de hypotenuse x√2 eenheden lang is.
Een van de belangrijkste dingen om te onthouden is dat de hoekensom van een driehoek altijd 180 graden is, dus de drie hoeken uit een driehoek moeten opgeteld 180 graden zijn. Dit betekent dat als je de waarden van twee hoeken weet, je eenvoudig de derde kunt berekenen.
In een rechthoekige driehoek met hoeken van 45° en 45° hoeven we slechts één rechthoekszijde met √2 te vermenigvuldigen om de lengte van de hypotenuse te krijgen. We vermenigvuldigen de lengte van de rechthoekszijde, die 7 inch is, met √2 om de lengte van de hypotenuse te berekenen.
Het bewijs van een stelling is een logisch argument dat gebruikmaakt van de inferentieregels van een deductief systeem om aan te tonen dat de stelling een logisch gevolg is van de axioma's en eerder bewezen stellingen . De stelling van Pythagoras kent minstens 370 bekende bewijzen.
De hoekgelijkvormigheidsstelling stelt dat als twee overeenkomstige hoeken in een driehoek congruent (gelijk) zijn, hun overeenkomstige zijden in dezelfde verhouding staan en de twee driehoeken dus gelijkvormig zijn . De derde hoek is impliciet congruent op grond van de driehoekssomstelling.
Er bestaan meer dan 350 bewijzen voor de stelling van Pythagoras. Onder deze bewijzen zijn er die zijn ontdekt of mogelijk herontdekt door prominenten, zoals James Garfield, de 20e president van de Verenigde Staten, en Multatuli.
De stelling van Pythagoras: formule
In een rechthoekige driehoek, met rechthoekszijden a en b en schuine zijde c, geldt: a²+b²=c².
DE STELLING VAN PYTHAGORAS. Een ezelsbruggetje om de formule van de Griekse wiskundige te onthouden, die de lengte van elke zijde van een rechthoekige driehoek bepaalt: "... De huid van de nijlpaard is gelijk aan de som van de huiden van de andere twee! "
Als ezelsbruggetje kun je het woord SOSCASTOA onthouden. SOS staat voor Sinus, Overstaande rechthoekzijde, Schuine zijde. CAS betekent: Cosinus, Aanliggende rechthoekzijde, Schuine zijde en TOA staat voor Tangens, Overstaande rechthoekzijde en Aanliggende rechthoekzijde.
Een 30-60-90-driehoek is een speciale rechthoekige driehoek met hoeken van 30, 60 en 90 graden . Hij heeft eigenschappen die vergelijkbaar zijn met die van een 45-45-90-driehoek. De zijde tegenover de hoek van 30 graden is de helft van de lengte van de hypotenuse, en de zijde tegenover de hoek van 60 graden is de lengte van de korte zijde vermenigvuldigd met de wortel van drie.
Stelling: In een driehoek geldt dat als het kwadraat van één zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de andere twee zijden, de hoek tegenover die eerste zijde een rechte hoek is . Daarmee is de stelling bewezen.
In elke driehoek zijn alle hoeken samen 180 180 180 graden. Deze regel wordt de hoekensom genoemd.
De zijde-zijde-zijde-stelling, de zijde-hoek-zijde-stelling, de hoek-zijde-hoek-stelling, de hoek-hoek-zijde-stelling en de rechte hoek-hypotenusa-zijde-stelling (of de hypotenusa-been-stelling) zijn de vijf congruentiestellingen van driehoeken.
Met behulp van de stelling van Pythagoras, zoals hierboven uitgelegd, kunnen we controleren of deze klopt. Hieruit blijkt dat de gegeven driehoek met zijden 65, 72 en 97 een rechthoekige driehoek is .
De 3-4-5-driehoeksregel stelt dat een driehoek een rechthoekige driehoek is wanneer de zijden van een driehoek de verhouding 3:4:5 hebben . De 3-4-5-driehoek voldoet aan de stelling van Pythagoras, die stelt dat de som van de kwadraten van de twee kortste zijden in een rechthoekige driehoek gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde.